2024年1月から新NISAが始まり、
全世界株式 MSCI オール・カントリー・ワールド・インデックスや
S&P500を対象としたインデックス投資の人気が高まってきています。
株価予測モデルの一つである幾何ブラウン運動モデルを使うと、
過去の年平均リターンとリスクから将来のインデックスの値を予測できます。
ただし、幾何ブラウン運動による予測は、年平均リターンとリスクが
将来にわたって同じであるという仮定の下での予測となりますが、
これらが将来にわたりが同じである保証はないため、
必ず予測の通りになるわけではありません。
あくまで参考として、期待リターンの確認がしたい人は、
期待リターンを計算してみてください。
幾何ブラウン運動の期待リターン計算
使い方
確認したいインデックスの年平均リターン（Average Annual Return）と
リスク（Risk）を確認してテキストボックスに入力してください。
レバレッジをかけた場合のリターンを確認したい場合は、
倍率をレバレッジ（Leverage）のテキストボックスに入力してください。
入力すると横軸を経過年数として、各経過年数での期待リターンの確率分布が持つ
Mode（最頻値）とMedian（中央値）のグラフが表示（更新）されます。
期待リターンの確率分布の95%信頼区間（95% confidence interval）を表示したい場合は、
「show 95% confidence interval」のチェックボックスにチェックを入れてください。
最頻値、中央値ともに増加傾向にある場合は、
長期投資をしたときにリターンが増加していくことが予想されます。
参考として、以下に主なインデックスの年平均リターンとリスクを示します。
| リターン (%) | リスク (%) | レバレッジ (倍) | |
|---|---|---|---|
| MSCI ACWI (全世界株) | 8.99 (過去10年) | 14.74 (過去10年) | 1.0 |
| S&P500 | 9.79 (過去10年) | 15.13 (過去10年) | 1.0 |
| NASDAQ100 | 17.91 (過去10年) | 18.8% (過去10年) | 1.0 |
| NASDAQ100 2倍 (レバナス相当) | 17.91 (過去10年) | 18.8% (過去10年) | 2.0 |
幾何ブラウン運動の期待リターンの計算式
レバレッジなしの場合
幾何ブラウン運動による株価予測のモデルでは、
株価 \( S \) は、株価の初期値を1とした場合、
以下の幾何ブラウン運動の方程式に従うと仮定します。
\[ \mathrm{d} S = \mu S \mathrm{d} t + \sigma S \mathrm{d} B \]
ここで、
\( \mathrm{d} S \) は株価の増分
\( \mu \) は年平均リターン
\( \sigma \) はリスク（ボラティリティ、標準偏差とも呼ばれます。）
\( \mathrm{d} B \) はウィーナー過程の増分（株価のランダムな増減）
を表します。
このとき、時間 \( T \) が経過した後に、
株価が \( x \) となる確率 \( f(x) \) は、以下で表されます。
\[ f(x) = \frac{1}{ x \sqrt{2 \pi \sigma ^2 T}} \exp \left\{ – \frac{ \left\{ \log x – \left( \mu – \frac{\sigma ^2 }{2} \right) T \right\} ^2 }{2 \sigma ^2 T} \right\} \]
この確率分布（確率密度関数） \( f(x) \) の
最頻値 \( Mode \) 、中央値 \( Median \) は下記で表されます。
\[ Mode = \exp \left( \mu – \frac{3}{2} \sigma ^2 \right) T \]
\[ Median = \exp \left( \mu – \frac{1}{2} \sigma ^2 \right) T \]
また、95%信頼区間は下記となります。
\[ \exp \left\{ \left( \mu – \frac{1}{2} \sigma ^2 \right) T – 1.96 \sigma \sqrt{T} \right\} < S < \exp \left\{ \left( \mu – \frac{1}{2} \sigma ^2 \right) T + 1.96 \sigma \sqrt{T} \right\} \]
上記の最頻値、中央値、95%信頼区間を今回の計算で使用しています。
レバレッジありの場合
幾何ブラウン運動モデルでレバレッジを考える場合、
レバレッジ \( L \) は年平均リターンとリスクに対してかかってくるため、
年平均リターン \( \mu \) とリスク \( \sigma \) は
それぞれ \( L \mu \) と \( L \sigma \) となります。
レバレッジありの場合の、最頻値 \( Mode\) 、中央値 \( Median \) は下記となります。
\[ Mode = \exp \left( L \mu – \frac{3}{2} L^2 \sigma ^2 \right) T \]
\[ Median = \exp \left( L \mu – \frac{1}{2} L^2 \sigma ^2 \right) T \]
また、95%信頼区間は下記となります。
\[ \exp \left\{ \left( L \mu – \frac{1}{2} L^2 \sigma ^2 \right) T – 1.96 L \sigma \sqrt{T} \right\} < S < \exp \left\{ \left( L \mu – \frac{1}{2} L^2 \sigma ^2 \right) T + 1.96 L \sigma \sqrt{T} \right\} \]
